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Oct 28, 2023 10:44 AM
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领域
Schnorr 签名算法的不足：
- 多重签名需要多次（签名者之间的）通信，这对冷钱包来说过于麻烦；
- 聚合签名算法依赖随机数生成器，而不像 ECDSA 那样可以使用指定的随机点（R）；
- m-n 多重签名机制比较取巧，需要构建公钥的默克尔树。当 m 和 n 较大时，树所占空间会相当大；
- 无法把一个区块中的所有签名聚合成一个签名。
BLS签名不需要随机数生成器，可以将区块中的所有签名聚合成一个，容易实现 m-n 多重签名，也可以避免签名者之间的多余通信。除此之外，BLS 签名的长度更短（签名为椭圆曲线上的一个点而非两个），是 Schnorr 或 ECDSA 的 2 分之一。
基本概念
- 曲线哈希（hashingto the curve，或译作 “哈希成曲线上的点”）
- ECDSA 和 Schnorr 签名算法中，我们对消息进行哈希计算后，结果（哈希值）是数字，BLS 签名算法则不同，它略微修改了哈希算法，结果对应到椭圆曲线上（的一个点）：哈希函数保持不变，将得到的哈希值作为点的 x 值寻找椭圆曲线上的对应点。椭圆曲线有 2²⁵⁶ 个点，而 SHA-256 哈希算法的值也恰好是 256 位。
- 一个有效的 坐标，会对应一正一负两个 坐标（因为和都是曲线上的点），所以有占用2个点， 但有的就不会有点，概率是50%。
- 对消息求哈希时，为确保能在曲线上找到对应的点，可以在消息体后附加一个数，若（寻找对应点）失败则累加该数并重新计算。即如果没有找到对应点，则持续尝试 , 等，直到找到为止。当找到对应点后，在 2 个点中选择 坐标较小的那个作为结果即可。
- 曲线配对（curves pairing）
需要一个特殊的函数，能够把一条（或 2 条不同的）曲线上的两个点 P 和 Q映射为一个数： 。此函数还要有一个重要的特性。即对于未知数 和两个点 、 ，无论哪个点乘以，结果相同(并且不会暴露 的任何相关信息)，即：。如此，除了乘数交换仍能保持等式成立外，更进一步，以下所有的交换都要保持等式成立：
配对函数中不能使用任何椭圆曲线（特别是比特币的 secp256k1 椭圆曲线）。我们必须使用非常特殊的曲线（通常出自易于配对的曲线簇），才能保证函数的效率和安全。
BLS签名方案
用代表私钥， 代表公钥，代表要签名的消息。生成 BLS 签名，将消息的哈希结果乘以私钥即可。
签名
- 先对消息求曲线哈希
- 再将获取的结果（曲线坐标点）乘以私钥即可：
大功告成！不需要随机数，不需要额外的步骤，仅仅将哈希结果乘以私钥即可。
签名结果是一个曲线上的点，用压缩的序列化格式保存，只占
33 个字节。验签
使用公钥 来验证签名，即 。这是为什么呢？
如前所述，配对函数的特性使得如下等式成立：
BLS 签名验证，我们只需验证 公钥和消息的哈希值（曲线上两个点）与曲线生成点和签名（曲线上另两个点）是否映射到同一个数（若是则说明这是一个有效的 BLS 签名）
签名聚合
现在让我们把区块中的签名都聚合在一起。
假设一个区块中有 1000 笔交易，每笔交易都由（签名），（公钥）和 （消息）组成（在这里表示序号）。如果这些签名可以被合并，那又何必分开保存呢？毕竟，我们只关心区块中所有的签名（而不是每一个）是否正确。
聚合签名
为获得聚合签名，只需要将区块中的所有签名加起来：
验证聚合签名
为验证该区块是否正确，我们需要保证以下等式成立：
如果签名都有效，那么该等式的确是成立的,，推导过程如下：
)
这里我们仍需用到所有的公钥，并计算 1001 次配对函数，好处是，区块中的签名只占 33 字节了。签名聚合可以由矿工在挖矿时完成，节省大量的区块空间。
密钥聚合和 n-of-n 多重签名
使用多重签名的地址时，我们会对同一笔交易用不同的密钥进行签名。这种情况下，可以和 Schnorr 算法一样使用聚合密钥，把所有密钥和签名聚合成单个公钥和签名。下面我们以 3-3 多重签名方案为例（同理可推导任意数量的多重签名方案）。
一种简单的聚合方法，是把所有的签名和密钥加起来即可。如此，签名聚合结果为，密钥聚合结果。可以验证以下等式依然成立：
因为：
和 Schnorr 一样，我们也需要杜绝伪造密钥攻击。即在上一篇BLS多重签名中提到的流氓密钥攻击问题。
- 一种方法是要求每个签名参与者证明它拥有公钥对应的私钥（用私钥给公钥签名）。
- 另一种方法是加入非线性系数，使得攻击无法实施。要做到这一点，聚合不再是简单的将多个密钥和签名相加，而是将它们分别乘以某个系数后再相加：
公式中签名和密钥的系数，可以通过签名者以及其它所有人的公钥计算得出，公式如下：
举个例子，可以简单的将签名者的公钥和所有人公钥拼接在一起算出系数：
此时，上面的验证公式依然成立。虽然多了系数，但计算逻辑未变。
该方案的好处是，无需在设备间进行多轮通信，只需知晓其它签名者的相应信息即可。它可比 Schnorr 算法（需要 3 轮通信）的多重签名方案简单多了。这个方案也不依赖随机性，是一种具有完全确定性的签名算法。
子群多重签名方案（m-of-n 多重签名）
多重签名并不常见，我们更倾向使用多重签名（比如多重签名）。我们不想因为丢失（ 个密钥中的）一个密钥而一无所有。密钥聚合非常适合这种场景。在 Schnorr 签名算法中，我们用公钥组成的默克尔树来实现密钥聚合，这种方式效率不高，但是将将堪用。不幸地是，当 和 的值变大时，默克尔树的大小会呈指数增长。
BLS 使用了另一种方法，不过略复杂。我们需要一个普通哈希函数（结果为一个数）和一个曲线哈希函数。开始多重签名时，还需要一个初始化过程，这之后，签名者之间就不再需要通信了，只需提供交易签名即可。
举个简单的例子，我们要创建一个 多重签名，3 个签名存储在不同的设备上（这个例子可以扩展为任意的多重签名）。
初始化（生成成员密钥）
用来表示集合中相应位置的设备，用表示私钥，用表示公钥。我们用前面说的方法来聚合公钥：
其中：
现在，每个设备都需要对每个 签名，以证明该是聚合公钥中的一员。将签名聚合后，保存在对应的设备中：
这个签名被称作“成员密钥”，稍后签名时我们会用到。
每个成员密钥都是对消息体的多重签名，即：
因为：
记住这个等式，稍后还会用到。它用来证明某个设备是多重签名中的合法参与者。
签名
假设只用私钥 和 给交易签名，我们会生成 2 个签名 和 ：
将它们加起来，聚合成单一的签名和公钥：
用 和，是为了强调它们只是由部分签名者参与计算的（公钥和签名），而不像 那样是由所有签名者参与计算的（公钥）。
验签
为了验证 多重签名，需证明如下等式成立：
上面说过，成员密钥 和 是对消息 和 （消息本身由聚合公钥签名）的签名，所以有：
证明完毕。比多重签名复杂一些，但仍然可以理解。
在比特币中的实现
要在比特币上部署一个 BLS 多签名钱包时，我们需要往某个地址（该地址由聚合公钥 P 生成）打钱。假设我们希望这是一个 2-of-n 多签名合约，那么可以用比特币的锁定脚本来描述，声明如下：
OP_2_ <OP>_OP_CHECK_BLS_MULTISIGOP_2表示需要 2 个密钥进行签名。 这里没有指明总共有 3 个签名，因此它可以表示 2-of-3 或者 2-of-100 等不同的多重签名地址。如此，总签名数永远不会暴露。为了花掉输出（output）地址中的钱，则需要提供
P’（公钥），S’（签名 ）以及参与签名者的编号（这个例子中是 1 和 3）。解锁脚本如下：OP_1 OP_3<P'><S'>脚本中有了这些信息，就足够用来验证交易了。其中，
OP_1和 OP_3 告诉我们需要计算的曲线哈希为 H(P, 1)和H(P, 3)。如此，对于任意 m 和 n的多重签名，我们只需要以下信息：
- 一个用在加锁脚本中的聚合公钥 P；
- 一个由部分参与者（m个）生成的聚合公钥 P’（用在解锁中）；
- 一个聚合签名 S’；
- 解锁要求的参与者数量m。
一切简单而优美！
由于比特币地址通常只用一次，需要使用 BIP32 这种密钥推导算法生成新的私钥和地址。因此，每次生成新的私钥时，我们也需要生成对应的成员私钥，我不太喜欢这一点。为避免每次交易后都要初始化生成成员私钥，可以一次性地生成一批（比如 1000 个）成员私钥，毕竟每个私钥只占 32 字节。如此，当 1000 个地址用完后，我们才需要再次进行初始化。
不足
配对函数并不那么高效。
BLS 签名验证的复杂度要比 ECDSA 高上一个数量级。 在验证区块中 1000 笔交易的聚合签名时，仍需要进行 1000 次配对计算，这可能比使用 ECDSA 时（对 1000 个单独签名进行验证）还要慢。唯一的好处在于，可以在区块中放更多笔的交易，毕竟聚合签名只占 32 字节。
与 BLS 不同，Schnorr 验证算法的效率很高，它可以把签名放一起验证，效率是 ECDSA 算法的三倍。
配对函数十分复杂，使用不当就会反受其累。一方面，我们希望用高效的配对函数来加快签名验证，另一方面，我们又希望密钥信息暴露越少越好。两者互相矛盾，我们需要异常小心地选择适宜配对的曲线。
