【非对称秘钥】ECC椭圆曲线

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椭圆曲线定义

ECC椭圆曲线的数学公式定义如下：

其中是曲线方程的参数。假设，函数的曲线如下图所示：

该曲线有2个特点：

曲线对x轴对称。 X轴上方的曲线上的每个点在X轴下方都有一个映射。

如果在曲线上绘制非垂直X轴的直线，则它可以与曲线最多有3处相交。

椭圆曲线坐标的加法和乘法

在本小节开头介绍的例子中，我们了解到只要找到容易计算的加减乘运算，和难以计算的除法运算，那么就可以用来加密数据，在椭圆曲线密码算法中，定义加法''为坐标转换，定义乘法''为加法的累积运算。

加法的定义如下：给定椭圆曲线上的两个点和，则椭圆曲线上必定有第三点。几何图形中，该第三点可以在和之间画一条线来确定。这条直线恰好与椭圆曲线上的一点相交。此点记为。然后，在 x 轴做映射获得。如下图所示：

当的情况下，相连的直线就是椭圆曲线在（或）点上的切线，因此，也可以表示为，或，如果在上继续进行切线操作，那么可以定义，也就是。以此类推，如下图所示：

我们可以得到乘法的定义。即个。

椭圆曲线公钥私钥

根据椭圆曲线乘法的定义，可以得出私钥和公钥的定义：

私钥：一个指定长度的随机值。

公钥：，其中是椭圆曲线上的一个坐标点，称为基点，公钥就是私钥乘以基点，也可以说是为对点进行次转换。

ECC椭圆曲线的优缺点

椭圆曲线非对称秘钥算法作为目前主流非对称秘钥算法，和其他非对称秘钥算法相比，具有如下的特点：

安全性能更高。椭圆曲线非对称秘钥算法的秘钥长度为160位，但是其安全安全强度与1024位RSA、DSA相同。

处理速度更快。在私钥的处理速度上，ECC远比RSA、DSA快得多。

带宽要求更低。由于ECC的密钥尺寸和系统参数与RSA、DSA相比要小得多，网络传输更快，存储空间更小。

由于涉及到椭圆曲线离散函数，椭圆曲线非对称秘钥算法相对于DSA，RSA而言，其工程实现相对复杂些。

secp256k1椭圆曲线

secp256k1是一条用于密码学的椭圆曲线，以太坊以前的比特币使用的就是secp256k1椭圆曲线。

它总共包含以下6个参数：

是函数参数。分别是：。函数可以表示为：

该曲线在实数域的曲线如下：

上图的是定义在实数范围内的，如果全部取整数，那只有一些离散的坐标值才符合secp256k1椭圆曲线，函数方程变为：

secp256k1椭圆曲线中国参数 p的值是：

参数 G是椭圆上的一个坐标点，称为基点，基点包含x坐标值和y坐标值，有2种表示方式：

压缩格式的G = 0279BE667E F9DCBBAC 55A06295 CE870B07 029BFCDB 2DCE28D9 59F2815B 16F81798

非压缩格式的G = 0479BE667E F9DCBBAC 55A06295 CE870B07 029BFCDB 2DCE28D9 59F2815B 16F81798 483ADA77 26A3C465 5DA4FBFC 0E1108A8 FD17B448 A6855419 9C47D08F FB10D4B8

注意：无论是压缩格式还是非压缩格式，G都包含一个前缀，含义为:

02表示y坐标是偶数

03表示y坐标是奇数

04表示非压缩。

参数是使得的最小正整数（也称为G的阶），其值为：0xFFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE BAAEDCE6 AF48A03B BFD25E8C D0364141，也可以表示为：

注意：

随机生成的私钥的上限就是该值，从而保证任何公钥都不可能为0。

参数一般为1，是椭圆曲线群的阶跟由生成的子群的阶的比值。

secp256k1椭圆曲线的公私钥计算步骤只有两步：

用户随机生成一个小于的大整数，这就是私钥。

然后计算公钥：。（注意，公钥也是椭圆曲线上的一个坐标，表示方式同基点）。

NIST p-256椭圆曲线

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ed25519椭圆曲线